Yahoo Actualités Mathématiques : pourquoi certains problèmes résistent-ils encore ?
Dans les champs des mathématiques, il apparaît que le nombre de questions augmente plus vite que le nombre de réponses. C'est le cas avec l'un des problèmes irrésolus posés par l'Allemand David Hilbert au début du 20e siècle.
Cet article est extrait du mensuel Sciences et Avenir n°929/930, daté juillet/ août 2024.
La résolution de problèmes constitue, à bien des égards, l'essence des mathématiques. "Il y a des problèmes élégants, des sommets majestueux qui nous défient depuis longtemps. Pour celui-ci en particulier, le chemin à gravir a longtemps semblé sans issue, mais les petits cailloux semés par plusieurs générations de mathématiciens nous ont permis d'émerger du brouillard", confie avec poésie Pierre Charollois, maître de conférences à Sorbonne Université.
Certains problèmes jouent ainsi avec la patience et le sens logique des experts en la matière. C'est notamment le cas de ceux exposés par l'Allemand David Hilbert lors du deuxième congrès international des mathématiciens organisé à Paris en 1900. Cet érudit, contemporain de Henri Poincaré, avait alors présenté la liste de 23 problèmes encore irrésolus qui méritaient l'attention de ses pairs.
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Cent vingt-quatre ans plus tard, 12 ont été entièrement résolus. Les autres constituent, pour nombre de mathématiciens, des rêves de jeunesse. Le 12e notamment. Il peut être ainsi posé : étant donné un polynôme à coefficients entiers (x5 + x + 1 par exemple), comment énumérer les solutions de l'équation x5 + x + 1 = 0 de façon élégante ? Autrement dit : trouver la ou les formules qui permettront de donner toutes les solutions d'une famille de polynômes à coefficients entiers.
Pour comprendre cet énoncé et les difficultés qui se sont posées et se posent aux mathématiciens, il est nécessaire de faire un peu de pédagogie sur un des champs des mathématiques : la théorie des nombres. Ses praticiens parlent de corps de nombres ou de polynômes. Ce sont des ensembles de nombres positifs ou négatifs (1, 2, 3 ou 5, par exemple) et de variables (y, x, z... ) au sein desquels z on peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser. Et ces corps peuvent être simples ou très compli[...]
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